Primzahlen als iterative Spirale [OC]

In vielen schönen Diagrammen und Videos sehen wir, wie sich die Primzahlen spiralförmig ausdehnen, wenn sie mit Polarkoordinaten dargestellt werden. Ich habe unten einige großartige Videolinks eingefügt.

Sie weisen jedoch darauf hin, dass die Verteilung der Primzahlen nicht durch die Spiralen selbst erklärt wird.

Das ist jedoch nicht ganz richtig, denn bei genauerem Hinsehen gibt es sekundäre Spiralen innerhalb der spiralförmigen Zahlenlinien, die aus den Primzahlen selbst (und den zusammengesetzten Zahlen in der Tat, aber sie sind vollständig in ihnen enthalten) hervorgehen "übergeordnete Primzahlen") – diese fungieren als "Sieb" Funktion, die jede zusammengesetzte Zahl identifiziert und die Primzahlen eindeutig unberührt lässt.

Zeichnen Sie k mod 6 +/- 1 und dann "gehen" entlang dieser beiden Sequenzen in "Hopfen" von einer gegebenen Primzahl >3, z. B. beginnend mit 5 – und dann 5 Sprünge entlang der ersten Sequenz gehen, kommen wir bei 35 an, nicht bei einer Primzahl, oder wenn wir vorwärts gehen, kommen wir bei 25 an, nicht bei einer Primzahl (tatsächlich ist der Vorwärtsgang immer das Quadrat).

Das Gleiche gilt für 7. Wenn wir rückwärts gehen, kommen wir auch bei 35 an (es ist immerhin 5*7), und wenn wir 7 Sprünge vorwärts gehen, kommen wir zu 49 und so weiter, und Sie werden feststellen, dass es 5*7, 5*11, 7*5, 7*11 usw. ist, d. h. die Primzahlen selbst multiplizieren sich, um die zusammengesetzten Zahlen zu erzeugen.

Das Bild zeigt die "verrückt"vergrößert dann aber nur das Verhalten von 5, 7 und dann 5,7,11,13 überlagert. Das Muster setzt sich bis ins Unendliche fort, allein beim Zählen kann man mit der modularen Arithmetik tricksen und erkennen, dass das "Hopfen" sind Index * 6 * Primzahl + Primzahl oder – Primzahl, um rückwärts zu gehen.

Es erzeugt die gesamte Folge der Primzahlen und ihrer Lücken.

Prime Spiral-Videos für den Kontext

3blau1braun – https://www.3blue1brown.com/lessons/prime-spirals

zahlenphile – https://youtu.be/iFuR97YcSLM?si=VqKr3_hymM9KldLp