Einreise nach Deutschland für ein Masterstudium mit weniger als 90 Tagen verbleibendem Schengen-Touristenvisum

Ich bin Amerikanerin, wurde für ein Masterstudium an der Universität des Saarlandes angenommen und plane, das Programm im kommenden Oktober zu beginnen. Soweit ich weiß, besteht die typische Vorgehensweise in dieser Situation darin, als allgemeiner Schengen-Tourist einzureisen und Ihre Aufenthaltserlaubnis zu beantragen, bevor die 90 Tage des Touristenvisums abgelaufen sind. Allerdings arbeite ich derzeit mit einer spanischen Aufenthaltserlaubnis in Spanien und hatte vorläufig geplant, über den Sommer hinweg mit dem Touristenvisum noch 1–1,5 Monate hier zu leben, sobald meine Aufenthaltserlaubnis im Juni endet, was effektiv einen Teil dieser 90 Tage aufbrauchen würde . Besteht die Möglichkeit, dass weniger als 90 Tage zu Problemen führen, wenn ich nach Deutschland einreise und eine Aufenthaltserlaubnis beantragen muss? Konkreter: Liege ich richtig darin, das folgende Zitat dahingehend zu interpretieren, dass ich in Deutschland bleiben kann, solange ich einen Termin für eine Aufenthaltserlaubnis beantragt habe, auch wenn meine 90 Tage abgelaufen sind und das Visum vor diesem Termin abläuft? (Und stimmt das Zitat, dass die E-Mail Ihr Visum effektiv verlängert?)

"Derzeit kann es mehr als einen Monat dauern, bis Sie einen Termin erhalten. Beantragen Sie daher mindestens 4 Wochen vor Ablauf Ihrer aktuellen Aufenthaltserlaubnis oder Ihres Visums einen Termin. Die E-Mail, die Sie zur Terminvereinbarung gesendet haben, dient als Beweis dafür, dass Sie alles in Ihrer Macht Stehende getan haben, um einen Termin zu erhalten. Bewahren Sie daher bitte eine Kopie dieser E-Mail zusammen mit der automatischen Antwort auf. Wenn Ihr Visum oder Ihre aktuelle Aufenthaltserlaubnis abläuft und Sie noch keinen Termin erhalten haben, verlängert Ihre E-Mail an die Ausländerbehörde automatisch Ihr Visum oder Ihre Aufenthaltserlaubnis, bis Sie endlich einen Termin erhalten." (https://www.htwsaar.de/en/international/international-office/international-degree-seeking-students/first-steps/getting-your-aufenthaltserlaubnis)

Es tut mir leid, wenn eine Frage wie diese beantwortet wurde, aber ich habe das Internet durchsucht und versucht, sowohl das Welcome Center der UdS als auch mein deutsches Konsulat zu kontaktieren, allerdings mit begrenztem Erfolg.